竖式乘法是谁想出来的？

数学课上，老师在黑板上写了一道竖式：23 × 14。

先用 4 去乘 23，得 92，写在第一行。再用 1 去乘 23，得 23，可是老师偏偏不把它和 92 对齐，而是往左挪了一格才写。两行一加，答案是 322。

你可能已经会算了，可是心里也许冒出过两个问题：第二行为什么非要往左挪一格？竖式这个办法，又是谁想出来的？

先想一想

第二行写的“23”，真的只是 23 吗？如果不往左挪，和 92 对齐着加，答案会是多少？对不对？

一、古人没有作业本，用小棍子摆数

数字站在哪里，比它长什么样还重要

要弄懂竖式，先得弄懂我们写数字的一个小秘密。

看看 222 这个数。三个“2”长得一模一样，可是意思完全不同：最右边的 2 是两个一，中间的 2 是两个十，最左边的 2 是两个一百。一个数字站的位置不同，大小就不同，每往左挪一格，就大 10 倍。数学家把这个叫作位值。

图 1 · 222 里的三个 2：站在个位是 2，站在十位是 20，站在百位是 200

这个办法看起来平常，其实很了不起。古罗马人写 23，要写成 XXIII：两个 X 是两个十，三个 I 是三个一。他们的符号自己就代表大小，和站在哪里没关系，所以没法像我们这样把个位对个位、十位对十位，竖着排好来算。

中国古人的算数小棍：算筹

那中国古人呢？两千多年前，他们算数时会拿出一把小竹棍，在桌上或地上摆。这种小棍叫算筹，汉朝的算筹大约 12 厘米长，比一支铅笔短一点¹。

算筹摆数字的规矩是这样的：1 到 5，有几就摆几根；6 到 9，用一根横着（或竖着）的小棍当 5，再添上几根。每个数字都有竖着摆的“纵式”和横着摆的“横式”两种样子。

摆一个多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位又用纵式……一竖一横地交替。古书《孙子算经》把这叫作“一纵十横”²。为什么要交替？因为挨着的两位样子不一样，一眼就能分清哪根是哪一位的，不会混在一起。

那 0 怎么摆呢？古人一开始的办法很简单：那一位空着，什么都不放。

图 2 · 算筹一竖一横交替着摆，空着的那一格就是 0（示意图）

你看，算筹也是“站的位置决定大小”。所以说，中国人很早就在用位值了¹。

有了能排整齐的数，古人又是怎么算乘法的呢？

二、两千多年前，就有乘法口诀和“乘法表”

秦朝的九九表

算乘法，先要背口诀。你背的九九乘法表，其实非常古老。

2002 年，考古学家在湖南龙山县的里耶古城，从一口古井里挖出了三万多枚秦朝的简牍。其中有一块木板上，整整齐齐地写着乘法口诀：“九九八十一，八九七十二，七九六十三……”，和我们今天背的几乎一模一样³。它大约写于 2200 年前。

图 3 · 秦朝人的乘法口诀从“九九八十一”背起，和今天的顺序正好相反

小知识

秦朝的九九表最后还有一句“二半而一”，意思是两个“一半”合起来是一。原来两千多年前的人，已经在算分数了。

大乘法拆成小乘法

可是口诀只管到 9 × 9。要算 23 × 14 这样的两位数乘法，怎么办？

清华大学收藏了一批战国时候的竹简，比秦朝还要早一些。其中 21 支竹简拼起来，是一张《算表》。用它算两位数乘法，办法是把两个数都拆开：23 拆成 20 和 3，14 拆成 10 和 4，两两相乘，得到四个小一点的数，最后再加起来⁴。

把 23 × 14 画成一个长方形，就能看清楚这是怎么回事：长 23 格，宽 14 格，一共 322 个小格。沿着 20 和 3、10 和 4 切开，正好变成四块。

图 4 · 23 × 14 拆成 200、30、80、12 四块，加起来是 322（示意图，一个小格代表 1）

“拆开、分别乘、再加起来”，这就是乘法竖式的核心秘密。记住这个长方形，后面还要用到它。

不过，竹简上的《算表》和小竹棍都没法写在纸上留下来。我们今天在作业本上写的 0、1、2、3……又是从哪里来的？

三、0 到 9 这十个数字的长途旅行

我们写的 0 到 9，叫“阿拉伯数字”。可它们其实出生在印度。

大约 1400 年前，印度的数学家已经把 0 当成一个真正的数来用了。有了 0，再加上 1 到 9，只用这十个符号，就能写出任何一个数：算筹要“空一格”的地方，现在可以清清楚楚写一个 0。

后来，这套数字传到了阿拉伯地区。大约 1200 年前，一位叫花拉子米的学者专门写书，教大家用印度数字计算。又过了几百年，一位叫斐波那契的意大利人在 1202 年写了一本《计算之书》，把它们介绍给欧洲的商人⁵。欧洲人是从阿拉伯人那里学来的，就把它们叫成了“阿拉伯数字”。

图 5 · 0 到 9 从印度出发，经过阿拉伯和欧洲，一百多年前进了中国的数学课本

在中国，人们很早就会用算筹和算盘算数，写数字用的是一、二、三这样的汉字。一直到一百多年前，数学书里才开始用阿拉伯数字做计算⁶。

有了能写在纸上的数字，人们是怎么在纸上算乘法的？

四、明朝人画格子算乘法：铺地锦

在竖式流行以前，有一种画格子的乘法很受欢迎。明朝 1450 年，一位叫吴敬的人在书里写过这种方法⁷；后来程大位的《算法统宗》里也有它，名字很好听，叫铺地锦⁸，像在地上铺开一块织锦。差不多同一个时候，意大利的算术书里也有一模一样的格子⁷。

我们用铺地锦来算 23 × 14：

画一个两格乘两格的方格，上面写 2 和 3，右边写 1 和 4。
每个格子画一条斜线，把一个小乘法的结果写进去：十位写在左上，个位写在右下。比如 3 × 4 = 12，就写 1 和 2。
顺着斜线隔出来的一条条“斜带”，把同一条带里的数加起来。满十就往左边那条带进 1。
沿着左边和下边读出来。

图 6 · 铺地锦算 23 × 14：每格一个小乘法，斜着加起来，读出 322

铺地锦的好处是：每个格子只管一个小乘法，用口诀就能算，最后才一起相加。这和战国《算表》的“拆开、分别乘、再加起来”，是同一个道理。

可是铺地锦要先画格子，有点麻烦。有没有不用画格子，也能把数排整齐的办法？

五、今天的竖式：第二行为什么往左挪一格

把 14 拆成 10 和 4

有，那就是我们今天的竖式。它是在许多国家的算术书里一点点改进出来的，后来在欧洲流行开。1613 年，明朝的李之藻根据意大利传教士利玛窦讲的内容，编成了《同文算指》，第一次把这种“用笔在纸上算”的方法系统地介绍到中国⁸。

现在，我们回到开头那道题。竖式其实只拆了一个数：把 14 拆成 10 和 4。

第一行：23 × 4 = 92。
第二行：23 × 10 = 230。

第二行本来应该写 230。末尾的 0 写不写都一样，大家为了省事就不写了。可是 23 必须留在原来该在的位置上：3 在十位，2 在百位。所以看起来像是往左挪了一格。

图 7 · 竖式的第二行其实是 23 × 10 = 230，省掉末尾的 0，就成了往左挪一格的 23

如果不挪，把 23 和 92 对齐着加，就得到 115。这等于把 230 当成 23 来加了，少了很多。

竖式就是一张没画出来的格子

把竖式和前面的长方形放在一起看：第一行的 92，是长方形下面那 4 行；第二行的 230，是上面那 10 行。竖式的每一行，就是长方形里的一块。

两千多年前的《算表》、明朝的铺地锦、今天的竖式，用的都是同一个办法：大乘法拆成小乘法，靠“位值”把每一块放到正确的位置上，再加起来。竖式只是把格子“藏”了起来，写得最省事。

六、动手试试：用铺地锦检查竖式作业

动手试试

你需要： 一张纸、一支铅笔、一把尺子，再加上你的乘法作业。

挑一道两位数乘两位数的题，比如 36 × 47，先用竖式算一遍。
在纸上画一个两格乘两格的方格，每个格子画一条从右上到左下的斜线。
上面写 3 和 6，右边写 4 和 7，把每个小乘法的结果填进格子。
顺着斜带加起来，沿左边和下边读出答案。

两种方法的答案一样吗？如果不一样，一定有一边算错了，回头找一找错在哪一格。

图 8 · 36 × 47 用铺地锦和竖式各算一遍，答案都是 1692

用铺地锦检查时，你会发现：竖式第一行的 252，就藏在格子里“× 7”的那一行（21 和 42）；第二行的 1440，就藏在“× 4”的那一行（12 和 24）。两种方法算的是同样的四个小乘法，只是摆法不同。

小结

回到开头的问题，我们一路找到了这些答案：

为什么数字能竖着对齐来算？ 因为我们的数字讲“位值”：站的位置不同，大小就不同，每往左一格大 10 倍。中国古人摆算筹时，就已经这样用了。
乘法口诀有多老？ 秦朝的木板上就写着九九表，大约有 2200 年了。
两位数乘法怎么算？ 把大乘法拆成几个小乘法，分别乘，再加起来。战国的《算表》、明朝的铺地锦，都是这个办法。
我们写的数字从哪里来？ 0 到 9 出生在印度，经过阿拉伯和欧洲，一百多年前才进了中国的课本。
第二行为什么往左挪一格？ 因为它其实是 23 × 10 = 230，末尾的 0 省掉了，23 还要站在十位和百位上。

你开头的猜想猜对了吗？下次写竖式的时候，可以在第二行末尾用铅笔轻轻点一个小点，提醒自己：这里藏着一个看不见的 0。